او اهل سنندج و از خاندان سرشناس صادق وزیری بود که نسل اندر نسل، وزیران خاندان اردلان بودند که بر کردستان ایران حکومت میکردند.
شماری از اعضای خاندان صادق وزیری در دربار قاجار نیز به مسئولیتهای دولتی رسیدند.
یحیی صادق وزیری تحصیلات ابتدایی و بخش اول دوره متوسطه را در زادگاهش سنندج و ادامه دوره متوسطه را در تهران به پایان رساند.
وی پس از فارغ التحصیلی در رشته حقوق از دانشگاه تهران و انجام خدمت نظام وظیفه، به استخدام دادگستری درآمد و با سمت دادیار به تبریز اعزام شد.
سپس به کرمانشاه و از آنجا به سنندج منتقل شد و به دادستانی کردستان رسید.
در پی آن به تهران منتقل شد و به تدریج سلسله مراتب قضائی را پیمود تا به مشاغل عالی قضائی همچون دادستان دیوان کیفر، مستشار دیوان عالی کشور و دادستان انتظامی قضات رسید.
در سال ۱۳۴۲ بر اثر اختلافی که میان او و نصرت الله باهری، وزیر دادگستری وقت پیش آمد، از دادستانی انتظامی قضات برکنار شد و سمت دیگری، یعنی بازرس قضائی در سازمان بازرسی کل کشور را که به او پیشنهاد شده بود نپذیرفت و خدمات قضائی را ترک گفت.
سرانجام پس از ۹ سال ترک خدمت، رسماً بازنشسته شد و پروانه وکالت دادگستری گرفت اما هیچگاه به وکالت نپرداخت.
هنگامی که شاهپور بختیار، نخست وزیری را به عهده گرفت به دلیل آشنایی با برادرش صارم الدین که سابقه نمایندگی مجلس و فعالیت سیاسی داشت، سمت وزارت دادگستری را به یحیی صادق وزیری پیشنهاد داد و او با تشویق دوستانی که میان قضات بلندپایه و فعالان سیاسی داشت، این سمت را پذیرفت، اما دوره وزارتش بسیار کوتاه بود.
پس از خروج محمدرضا شاه از ایران، آقای صادق وزیری از وزارت استعفا داد و نخستین عضو دولت بختیار شد که از کابینه کناره گرفت.
پس از انقلاب، او عضو هیئت صلحی شد که دولت موقت برای حل اختلاف در کردستان تشکیل داد و همچنین در تدوین پیش نویس قانون اساسی فعالیت داشت.
پست استانداری کردستان هم به او پیشنهاد شد اما نپذیرفت و تا پایان عمر از فعالیتهای اجرائی و قضائی کناره گرفت.
آقای صادق وزیری در واپسین سالهای عمر به فعالیتهای خیریه پرداخت.
وی خانه پدری اش را به آموزش و پرورش اهدا کرد تا مدرسه شود، خوابگاهی برای دانشجویان دانشگاه کردستان ساخت و کتابهایش را به این دانشگاه اهدا کرد.